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太阳系质心天球参考系与地心天球参考系及转换
太阳系质心天球参考系
根据IAU决议，用来描述太阳系内天体运动的坐标系统，最简便的方式是使用如下的度规张量 \[\left\{ \begin{gathered} {g_{00}} = - 1 + \frac{2}{{{c^2}}}w - \frac{2}{{{c^4}}}{w^2} + O\left( {{c^{ - 5}}} \right) \hfill \\ {g_{0i}} = - \frac{4}{{{c^3}}}{w^i} + O\left( {{c^{ - 5}}} \right) \hfill \\ {g_{ij}} = {\delta _{ij}}\left( {1 - \frac{2}{{{c^2}}}w} \right) + O\left( {{c^{ - 4}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\] 其中，后牛顿引力位\( {w^i}\)与\( w \)分别为 \[w\left( {t,{\mathbf{x}}} \right) = G\int {{d^3}x'\frac{{\sigma \left( {t,{\mathbf{x}}} \right)}}{{\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}'} \right|}}} + \frac{1}{{2{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\int {{d^3}x'\sigma \left( {t,{\mathbf{x}}} \right)\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}'} \right|} \] \[{w^i}\left( {t,{\mathbf{x}}} \right) = G\int {{d^3}x'\frac{{{\sigma ^i}\left( {t,{\mathbf{x}}} \right)}}{{\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}'} \right|}}} \] 这里的\(\sigma \)与 \({{\sigma ^i}}\)分别为后牛顿意义下的密度和向量密度。其对应的能量张量为 \[{\sigma} = \frac{1}{2}\left( {{T^{00}} + {T^{kk}}} \right)\] \[{\sigma ^i} = \frac{1}{c}{T^0}\]
太阳系质心动力学参考系
太阳系质心动力学参考系（Barycentric Dynamical Reference System）用来描述太阳系时空特性。相比于太阳系质心天球参考系 （BCRS）和地心天球参考系（GCRS），太阳系质心动力学参考系（BDRS）目前还不是IAU所接受的名词，有时又被称为太阳系质心 天球参考系的动力学实现。
地心天球参考系
地心天球参考系的度规张量形式上与太阳系质心天球参考系非常相似，为 \[\left\{ \begin{gathered} {G_{00}} = - 1 + \frac{2}{c}W - \frac{2}{{{c^4}}}{W^2} + O\left( {{c^{ - 5}}} \right) \hfill \\ {G_{0i}} = - \frac{4}{{{c^3}}}{W^a} + O\left( {{c^{ - 5}}} \right) \hfill \\ {G_{ij}} = {\delta _{ij}}\left( {1 - \frac{2}{{{c^2}}}W} \right) + O\left( {{c^{ - 4}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\] 其中引力位\(W\)与\({W^a}\)为 \[W\left( {T,{\mathbf{X}}} \right) = {W_E}\left( {T,{\mathbf{X}}} \right) + {W_{ext}}\left( {T,{\mathbf{X}}} \right)\] \[{W^a}\left( {T,{\mathbf{X}}} \right) = W_E^a\left( {T,{\mathbf{X}}} \right) + W_{ext}^a\left( {T,{\mathbf{X}}} \right)\] 这里\(W\)与\({W^a}\)为地球引力势度规。
太阳系质心天球参考系与地心天球参考系转换
地心天球参考系的时间与坐标是t=TCB时间引数的函数，其形式如下 \[T = t - \frac{1}{{{c^2}}}\left[ {A\left( t \right) + {{\mathbf{v}}_E} \cdot {{\mathbf{r}}_E}} \right] + \frac{1}{{{c^4}}}\left[ {B\left( t \right) + {B^i}\left( t \right)r_E^i + {B^{ij}}\left( t \right)r_E^ir_E^j + C\left( {t,{\mathbf{x}}} \right)} \right] + O\left( {{c^{ - 5}}} \right)\] \[{X^a} = {\delta _{ai}}\left[ {r_E^i + \frac{1}{{{c^2}}}\left( {\frac{1}{2}v_E^i{{\mathbf{v}}_E}{{\mathbf{v}}_E} + {w_{ext}}\left( {{{\mathbf{x}}_E}} \right)r_E^i + {r_E}{{\mathbf{a}}_E}{{\mathbf{r}}_E} - \frac{1}{2}a_E^ir_E^2} \right)} \right] + O\left( {{c^{ - 4}}} \right)\] 其中 \[{{\mathbf{r}}_E} = {\mathbf{x}} - {{\mathbf{x}}_E}\] $$\frac{{\text{d}}}{{{\text{dt}}}}{\text{A}}\left( {\text{t}} \right) = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{v}}_{\text{E}}^{\text{2}} + {{\text{w}}_{{\text{ext}}}}\left( {{x_{\text{E}}}} \right)$$ $$\frac{{\text{d}}}{{{\text{dt}}}}{\text{B}}\left( {\text{t}} \right) = - \frac{{\text{1}}}{{\text{8}}}{\text{v}}_{\text{E}}^{\text{4}} - \frac{{\text{3}}}{{\text{2}}}{\text{v}}_{\text{E}}^{\text{2}}{{\text{w}}_{{\text{ext}}}}\left( {{x_{\text{E}}}} \right) + {\text{4v}}_{\text{E}}^{\text{i}}{\text{w}}_{{\text{ext}}}^{\text{i}}\left( {{x_{\text{E}}}} \right) + \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{w}}_{{\text{ext}}}^{\text{2}}\left( {{x_{\text{E}}}} \right)$$ \[{B^i}\left( t \right) = - \frac{1}{2}v_E^2v_E^i + 4w_{ext}^i\left( {{x_E}} \right) - 3v_E^i{w_{ext}}\left( {{x_E}} \right)\] \[{B^{ij}}\left( t \right) = - v_E^i{\delta _{aj}}{Q^a} + 2\frac{\partial }{{\partial {x^j}}}w_{ext}^i\left( {{x_E}} \right) - v_E^i\frac{\partial }{{\partial {x^j}}}{w_{ext}}\left( {{x_E}} \right) + \frac{1}{2}{\delta ^{ij}}{\dot w_{ext}}\left( {{x_E}} \right)\] $${\text{C}}\left( {{\text{t,}}x} \right) = - \frac{{\text{1}}}{{{\text{10}}}}{\text{r}}_{\text{E}}^{\text{2}}\left( {\dot a_{\text{E}}^{\text{i}}{\text{r}}_{\text{E}}^{\text{i}}} \right)$$ 这里\(x_E^i\) ，\(v_E^i\), \(a_E^i\)为地球在太阳系质心坐标系下的位置、速度和加速度分量。